sistemas de ecuaciones lineales

Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas

Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de  dos o más ecuaciones que tienen idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.

La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas constara de dos ecuaciones independientes; así un sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas constara de tres ecuaciones independientes; etc.

Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles.

Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las soluciones son las mismas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuación por un mismo número.

x +y = 4

2x +2y = 8

Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son las que  no se obtienen una de la otra.

Entendemos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones simultáneamente, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando encontramos todas las soluciones de un sistema, decimos que hemos resuelto el sistema.

Ejemplo

Determinar si (1,2) es una solución del sistema

y=x+1 2x+y=4 y=x+1 2=1+1 2=2

2x+y=4 2(1)+2=4 2+2=4 4=4

 (1, 2) es una solución del sistema

Determinar si (-3, 2) es una solución del sistema.

a+b=-1 b+3a=4

a+b=-1 -3+2=-1 -1=-1 b+3a=4 2+3(-3)=4 2-9=4

-7=4

Ya que (-3, 2) no es una solución de b+3a=4, no es una solución del sistema.

Solución de ecuaciones lineales

Ejemplo

Se llama sistema de ecuaciones a un conjunto de  dos o más ecuaciones que tienen idéntica solución, es decir, que las soluciones satisfacen a cada una de las ecuaciones dadas; también se les llama sistema de ecuaciones simultaneas.

La Solución de un sistema de ecuaciones requiere de tantas ecuaciones independientes como incógnitas se tengan que determinar; así un sistema de ecuaciones de primer grado con dos incógnitas constara de dos ecuaciones independientes; así un sistema de ecuaciones de primer grado con tres incógnitas constara de tres ecuaciones independientes; etc.

Si un sistema tiene solución se dice que es un sistema posible o Compatible. Si la solución es única diremos que el sistema es Compatible y determinado. Si tiene infinitas soluciones diremos que el sistema es Compatible e indeterminado. Cuando el sistema no tiene solución, diremos que las ecuaciones y el sistema son incompatibles.

Una expresión general de un sistema lineal de dos ecuaciones con dos variables es:

Las ecuaciones simultáneas con dos o más incógnitas son simultáneas cuando las soluciones son las mismas.

Las ecuaciones equivalentes son las que se obtienen al multiplicar o dividir una ecuación por un mismo número.

x +y = 4

2x +2y = 8

Son equivalentes porque dividiendo por 2 la segunda ecuación se obtiene la primera. Las ecuaciones equivalentes tienen infinitas soluciones comunes. Ecuaciones independientes son las que  no se obtienen una de la otra.

Entendemos que un sistema de ecuaciones es un conjunto de ecuaciones para las cuales buscamos una solución común. Una solución de un sistema de dos ecuaciones en dos variables es una pareja ordenada que hace que ambas ecuaciones sean verdaderas. Como la solución de un sistema satisface ambas ecuaciones simultáneamente, decimos que tenemos un sistema de ecuaciones simultáneas. Cuando encontramos todas las soluciones de un sistema, decimos que hemos resuelto el sistema.

Ejemplo

Determinar si (1,2) es una solución del sistema

y=x+1 2x+y=4 y=x+1 2=1+1 2=2

2x+y=4 2(1)+2=4 2+2=4 4=4

 (1, 2) es una solución del sistema

Determinar si (-3, 2) es una solución del sistema.

a+b=-1 b+3a=4

a+b=-1 -3+2=-1 -1=-1 b+3a=4 2+3(-3)=4 2-9=4

-7=4

Ya que (-3, 2) no es una solución de b+3a=4, no es una solución del sistema.

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